複素数のつくりかた 代数の考え方で演算を組み立てる

Chapter 1　虚数の登場　〜まずは慣れよう！
Chapter 2　もっと知りたい複素数
Chapter 3　複素数は役に立つ　〜「存在」の「状況証拠」
Chapter 4　複素数のつくりかた：予告篇　〜目指すべき新世界
Chapter 5　複素数のつくりかた：完結篇　〜合同式をテコにして

Chapter 1　虚数の登場　〜まずは慣れよう！
　テーマ1.1　2次方程式の解の公式
　　1st Step　分配法則と式の展開
　　2nd Step　因数分解と2次方程式
　　3rd Step　平方完成
　　4th Step　2次方程式の解の公式
　テーマ1.2　実数と虚数　〜2乗したら-1になる数を考える
　　1st Step　判別式
　　2nd Step　数の概念のひろがり　〜自然数から有理数へ
　　3rd Step　数の概念のひろがり　〜実数
　　4th Step　そして複素数
　テーマ1.3　複素数の計算
　　1st Step　四則演算の性質
　　2nd Step　複素数の加法と乗法
　　3rd Step　複素数の減法，および「等しい」ことの判定
　　4th Step　複素数の除法

Chapter 2　もっと知りたい複素数
　テーマ2.1　2次方程式の解の公式ふたたび
　　1st Step　複素数の世界でも因数分解が使えるか？
　　2nd Step　x2=−1の解を全部求めよう！
　　3rd Step　負の数の平方根
　　4th Step　実数解と虚数解　〜判別式による判定
　テーマ2.2　サイン・コサイン　〜三角比と三角関数
　　1st Step　三角比
　　2nd Step　具体例をいくつか
　　3rd Step　一般角と弧度法
　　4th Step　三角関数
　テーマ2.3　複素数平面　〜複素数を幾何学的にとらえる
　　1st Step　複素数平面
　　2nd Step　極形式表示
　　3rd Step　三角関数の加法定理
　　4th Step 複素数の積の幾何学的解釈

Chapter 3　複素数は役に立つ　〜「存在」の「状況証拠」
　テーマ3.1　複素数のべき乗とべき根
　　1st Step　べき乗の計算
　　2nd Step　1の2乗根と3乗根
　　3rd Step　1のn乗根
　　4th Step　一般の複素数のn乗根
　テーマ3.2　数列と複素数
　　1st Step　フィボナッチ数列
　　2nd Step　2次方程式の解と係数の関係
　　3rd Step　3項間の漸化式を満たす数列の一般項
　　4th Step　虚数を用いて実数列の一般項を表す
　テーマ3.3　3次方程式の解の公式と複素数
　　1st Step　3次方程式の形を簡単にする
　　2nd Step　カルダーノの方法
　　3rd Step　x3−3x−4＝0を解く
　　4th Step　x3−3x＝0を解く

Chapter 4　複素数のつくりかた：予告篇　〜目指すべき新世界
　テーマ4.1　「i」と「−i」のパラレルワールド
　　1st Step　もしもiが−iだったら？
　　2nd Step　四則演算の検証実験
　　3rd Step　例題3.2と例題3.4の再検討　〜実数の世界へのフィードバック
　　4th Step　新世界に何を求めるのか？
　テーマ4.2　多項式とその演算
　　1st Step　多項式の定義
　　2nd Step　多項式の足し算・引き算
　　3rd Step　多項式のかけ算
　　4th Step　多項式の世界
　テーマ4.3　多項式の計算と複素数の計算の奇妙な符合
　　1st Step　割って余りを出す　〜整数バージョン
　　2nd Step　割って余りを出す　〜多項式バージョン
　　3rd Step　複素数の世界と「多項式の余り」の世界
　　4th Step　メカニズムを調べる

Chapter 5　複素数のつくりかた：完結篇　〜合同式をテコにして
　テーマ5.1　「5＝0」となる世界のつくりかた
　　1st Step　合同式
　　2nd Step　等式の性質……のようなもの
　　3rd Step　剰余類
　　4th Step　Z/5Zという新世界
　テーマ5.2　「X2＋1＝0」となる世界のつくりかた　〜複素数体の誕生
　　1st Step　多項式の合同関係
　　2nd Step　X2＋1を法とする剰余類
　　3rd Step　[X]/(X2＋1)に演算を定める
　　4th Step　複素数体の誕生
　テーマ5.3　複素共役と対称性
　　1st Step　複素共役
　　2nd Step　複素数の世界から実数を見る
　　3rd Step　実数係数多項式にzとzを代入する
　　4th Step　実数係数多項式の虚数解に関する定理