応用例で学ぶ逆問題と計測

第1章　逆問題とは
第2章　逆問題の数理
第3章　放物型偏微分方程式（拡散方程式）の逆問題
第4章　双曲型偏微分方程式（波動方程式）の逆問題
第5章　楕円型偏微分方程式（ラプラス方程式）の逆問題
付録
付録A 特異値分解の求め方
付録B 2階線型偏微分方程式の分類

はじめに
第1部　基礎編 1
第1章　逆問題とは
1.1　順問題と逆問題
1.2　魔方陣逆問題
1.3　魔方陣逆問題と計測
1.4　魔方陣逆問題の定式化
1.4.1　行列表示・式の数
1.4.2　計測の独立性
1.4.3　必要以上の個数の計測データ
1.4.4　誤差を含む計測データ
第2章　逆問題の数理
2.1　正方行列の固有値・固有ベクトル
2.1.1　固有値・固有ベクトルを用いた連立1 次方程式の分解
2.1.2　固有値・固有ベクトルを用いた対称行列の分解
2.2　非正方行列の特異値分解
2.2.1　非正方行列による変換の振る舞い
2.2.2　特異値分解
2.3　特異値分解による逆問題の分析
2.3.1　特異値分解を用いた解と最小二乗解
2.3.2　特異値分解を用いた解と最小ノルム解
2.4　特異値分解による逆問題の分析の具体例
2.4.1　ゼロあるいは絶対値が小さい固有値・特異値の扱い
2.4.2　最小二乗解と計測との関係
第2部　応用編
第3章　放物型偏微分方程式（拡散方程式）の逆問題
3.1　1 次元拡散の逆問題
3.2　差分法による離散化
3.3　逆問題の離散化
3.4　特異値分解による分析
3.5　1 次元拡散の逆問題の解析例（1）――計測の誤差・頻度・時間，計測点の数・配置
3.5.1　例題3.1：問題設定・解析の流れ
3.5.2　計測誤差
3.5.3　計測頻度
3.5.4　計測時間の長さ
3.5.5　計測開始時間
3.5.6　計測点の数と配置
3.6　1 次元拡散の逆問題の解析例（2）――角砂糖の位置・大きさ・形
3.6.1　位置と大きさの推定
3.6.2　形の推定
3.7　放物型偏微分方程式を支配方程式とする逆問題のための計測
第4章　双曲型偏微分方程式（波動方程式）の逆問題
4.1　1 次元波動伝播の逆問題
4.2　差分法による離散化
4.3　逆問題の離散化
4.4　特異値分解による分析
4.5　1 次元波動伝播の逆問題の解析例（1）――計測の誤差・頻度・時間，計測点の数・配置
4.5.1　例題4.1：問題設定・解析の流れ
4.5.2　計測誤差
4.5.3　計測頻度
4.5.4　計測時間の長さ
4.5.5　計測開始時間
4.5.6　計測点の数と配置
4.6　1 次元波動伝播の逆問題の解析例（2）――手を離したときの弦の形
4.7　双曲型偏微分方程式を支配方程式とする逆問題のための計測
第5章　楕円型偏微分方程式（ラプラス方程式）の逆問題
5.1　2 次元ポテンシャル場の逆問題
5.2　差分法による離散化
5.3　逆問題の離散化
5.4　特異値分解による分析
5.5　ラプラス方程式の逆問題の解析例（1）――閉曲線∂C の位置
5.6　ラプラス方程式の逆問題の解析例（2）――計測点の数・配置
5.6.1　計測点の数
5.6.2　計測点の配置
5.7　楕円型偏微分方程式を支配方程式とする逆問題のための計測
付　録
付録A　特異値分解の求め方
付録B　2 階線形偏微分方程式の分類
索　引